常用分布

常用分布若干知识点记录

伯努利分布

进行一次实验,实验的结果只有两种:成功的概率是$p$,则失败的概率是$1-p$。eg:一个硬币抛一次人结果。

$$P(X=1)=p \\ P(X=0)=1-p$$

期望:$E(X)=P$
方差:$D(X)=P \times (1-P)$

二项分布

n次伯努利实验,成功k次。g:一个硬币抛n次，k次正面朝上。

$$P(X=k)=C_n^kp^{k}(1-p)^{n-k}$$

期望:

$$\begin{aligned} E(X) &=\sum_{k=0}^nk C_n^kp^{k}(1-p)^{n-k} \\ &=\sum_{k=0}^nk \frac{n!}{k!(n-k)!} p^{k}(1-p)^{n-k} \\ &=n\sum_{k=0}^n \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} p^{k}(1-p)^{n-k} \\ &= np\sum_{k=0}^n C_{n-1}^{k-1}p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)} \\ &=np(p+(1-p))^{n-1} \\ &=np \end{aligned}$$ $$D(X)=np(1-p)$$

过两天在证明

几何分布

考虑伯努利试验，每次成功的概率为$p$,$0<p<1$,重复试验直到试验首次成功为止。令X表示需要试验的次数，那么:

$$P(X=n)=(1−p)^{n−1}p$$

• $E(X)=\frac{1}{p}$
• $D(X)=\frac{1-p}{p^2}$
  参考

补充:

$$\begin{aligned} D(X) &= E(X-E(X)^2) \\ &=E(X^2-2XE(X)+E(X)^2) \\ &=E(X^2)-2E(x)^2+E(X)^2 \\ &=E(X^2)-E(X)^2 \end{aligned}$$