泊松分布和指数分布

一直不理解一些分布是干什么用的，怎么来的，看了马同学高数才有了一些了解，目前的感觉是，似乎常见的分布都来自于二项分布。此处加以记录。

从二项分布到泊松分布

• 已知：馒头老板统计了一周内每天卖的馒头数量
• 问题：一个馒头店每天需要准备多少馒头？
  最简单的办法是求平均值，每天就准备这么多馒头就行了，但是问题是如果每天卖出馒头数量方差较大，很容易有好几天准备不足或准备过剩。
• 分析：将一天销售时间均分为$n$个阶段，似的每一阶段只卖出一个馒头，那么，每一阶段卖出与不卖出馒头就是一个伯努利分布，$n$个阶段就是二项分布。设每天卖出馒头为随机变量X，则一天销售时间卖出$k$个馒头的概率为： $$P(X=K)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k} \tag{1}$$ 很显然，时间是连续的，不能这样分，但是当$n \to+\infty$的时候，可以认为是连续的。
  上诉二项分布$p$怎么求呢？由$np=\mu$得$p=\frac{\mu}{p}$,$\mu$可由一周内均值近似，则有： $$\begin{aligned} P(X=k)&=\lim_{n \to +\infty} C_n^k(\frac{\mu}{n})^k(1-\frac{\mu}{n})^{n-k}\\ &=\lim_{x \to +\infty} \frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}\frac{\mu^k}{n^k}(1-\frac{\mu}{n})^{n-k} \\ &=\lim_{x \to +\infty}\frac{\mu^k}{k!} \frac{n}{n}\frac{n-1}{n}...\frac{n-k+1}{n}(1-\frac{\mu}{n})^{-k}(1-\frac{\mu}{n})^n \end{aligned}$$ 其中$\frac{n}{n} \frac{n-1}{n}…\frac{n-k+1}{n}$和$(1-\frac{\mu}{n})^{-k}$在$n \to +\infty$下都是1，对于最后一个因式: $$\lim_{n \to +\infty}(1-\frac{\mu}{n})^n=\lim_{n\to+\infty}((1+(-\frac{1}{\frac{n}{\mu}}))^{-\frac{n}{\mu}})^{-\mu} = e^{-\mu}$$ 故而原式可化为$P(X=k)=\frac{\mu^k}{k!}e^{-\mu}$,即泊松分布的公式。
  因此，可以认为，泊松分布是描述某段时间内，卖出多少馒头的分布，其中$\mu$代表这段时间内卖出馒头的期望。

  从泊松分布到指数分布

  上诉泊松分布只告诉了我们确定时间段内的分布，改造该公式如下： $$P(X=k,t)=\frac{(\mu t)^k}{k!}e^{-\mu t}$$ 称之为波松过程，可以看出，当$t=1$时就是普通的泊松分布，当$t=n$的时候表示时间间隔为$n$内卖出馒头的分布。
  对于馒头店老板而言，不仅仅需要知道每天要准备多少馒头，还需要知道卖出馒头的时间间隔，好以此适时调整服务员人数。
  设随机变量X表示两次卖出馒头之间的间隔，则有： $$P(Y>t)=P(X=0,0)=\frac{(\mu t)^0}{0!}e^{-\mu t}=e^{-\mu t}$$

  $P(X=k,t)$表示时间段t内卖出k个馒头的概率，P(Y>t)表示两次卖出馒头时间间隔大于t的概率，则就是时间t内卖出0个馒头的概率。
  则:

  $$P(Y\le t)=1-e^{-\mu t}$$

  即指数分布