n维空间任意两向量几乎正交

命题

本文要证明的是高n维空间中，任意两个向量都几乎正交，注意：不是两个向量正交的概率大，而是”几乎正交，即夹角接近$\frac{π}{2}$。基本思路就是考虑两个随机向量的夹角$\theta$分布，然后求导得到概率密度，就可以看出在$\theta$在哪个范围内最大。

命题重定义

随机两个向量不好求，我们可以先固定一个，让另一个随机即可，假设固定向量为：

$$x=(1,0,...,0) \tag{1}$$

随机向量为：

$$y=(y_1,y_2,...,y_n) \tag{2}$$

现在我们把原命题重新定义为n维单位超球面上，任意一个点与原点组成的单位向量和$(1,0,0,…,0)$向量都几乎正交
直接计算可以得到:

$$cos \langle x,y \rangle=\frac{x_1}{\sqrt(x_1^2+x_2^2+...x_n^2)} \tag{3}$$

现在要求的就是公式(3)的概率分布和密度，到这里还是一筹莫展。

球坐标系

将$y$直角坐标转为球坐标系后为：

$$\left\{ \begin{aligned} y_1 & = cos(\varphi_1) \\ y_2 & = sin(\varphi_1)cos(\varphi_2) \\ y_3 &= sin(\varphi_1)sin(\varphi_2) cos(\varphi_3) \\ . . .\\ y_{n-1} &= sin(\varphi_1)sin(\varphi_2)...sina(\varphi_{n-2}) cos(\varphi_{n-1}) \\ y_{n} &= sin(\varphi_1)sin(\varphi_2)...sina(\varphi_{n-2}) sin(\varphi_{n-1}) \end{aligned} \right. \tag{4}$$

其中，$\varphi_{n-1} \in[0,2π]$, $\varphi_{0…n-2} \in[0,π]$
此时,公式(3)中$cos \langle x,y \rangle$恰好等于$\varphi_1$,即两者之间的角度就是$\varphi_1$

$$P_n(\varphi_1<\theta)=\frac{n维超球面上\varphi_1<\theta 部分面积(可以想像为三维球体的环带)}{n维超球体表面积} \tag{5}$$

n维超球面上的积分微元是$\sin^{n−2}(\varphi_1)\sin^{n−3}(\varphi_2)⋯sin(\varphi_{n−2})d\varphi1d\varphi2⋯d\varphi_{n−2}d\varphi_{n−1}$
因此n维球面积积分为:

$$\begin{align*} S_n&=\int_0^{2π}d\varphi_{n−1}\int_0^πsin(\varphi_{n−2})d\varphi_{n−2}...\int_0^π\sin^{n−3}(\varphi_2)d\varphi_2\int_0^π\sin^{n−2}(\varphi_1)d\varphi_1 \tag{6} \end{align*}$$

故:

$$\begin{align*} P_n(\varphi_1<\theta) &= \frac{n维超球面上\varphi_1<\theta 部分面积}{n维超球体表面积} \\ &=\frac{\int_0^{2π}\int_0^π...\int_0^π \int_0^\theta \sin^{n−2}(\varphi_1)\sin^{n−3}(\varphi_2)⋯sin(\varphi_{n−2})d\varphi1d\varphi2⋯d\varphi_{n−2}d\varphi_{n−1}}{\int_0^{2π}\int_0^π...\int_0^π \int_0^π\sin^{n−2}(\varphi_1)\sin^{n−3}(\varphi_2)⋯sin(\varphi_{n−2})d\varphi_1d\varphi_2⋯d\varphi_{n−2}d\varphi_{n−1}} \\ &=\frac{\int_0^{2π}d\varphi_{n−1}\int_0^πsin(\varphi_{n−2})d\varphi_{n−2}...\int_0^π\sin^{n−3}(\varphi_2)d\varphi_2\int_0^\theta\sin^{n−2}(\varphi_1)d\varphi_1}{\int_0^{2π}d\varphi_{n−1}\int_0^πsin(\varphi_{n−2})d\varphi_{n−2}...\int_0^π\sin^{n−3}(\varphi_2)d\varphi_2\int_0^π\sin^{n−2}(\varphi_1)d\varphi_1} \\ &=\frac{(n−1)维单位超球的表面积 \times \int_0^\theta\sin^{n−2}(\varphi_1)d\varphi_1}{n维单位超球的表面积} \\ &=\frac{\Gamma(\frac{n}{2})}{\Gamma(\frac{n-1}{2})\times \sqrt(π)} \times \int_0^\theta\sin^{n−2}(\varphi_1)d\varphi_1 \tag{7} \end{align*}$$

小插曲:
n维球体积:$V_n=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(n/2)}r^{n-1}$,n维球面积$S_n=\frac{2\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2})}r^{n-1}=V_n’$

因此, 概率密度为:

$$p_n(\theta)=P_n(\varphi_1<\theta)'=\frac{\Gamma(\frac{n}{2})}{\Gamma(\frac{n-1}{2})\times \sqrt(π)} \times \sin^{n−2} \tag{8}\theta$$

密度函数图像

#!/usr/bin/env python
# coding=utf-8

import math

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import seaborn as sns
import pandas as pd


def fun(n, x):
    return (math.gamma(n / 2) * math.pow(math.sin(x), n - 2)) / (math.sqrt(math.pi) * math.gamma((n - 1) / 2))


if __name__ == '__main__':
    datas_dict = dict()
    xs = np.arange(0, 3, 0.01)
    ys = list()
    for n in [2, 3, 5, 10, 50, 100]:
        for x in xs:
            ys.append(fun(n, x))
        datas_dict[str(n)] = ys.copy()
        ys.clear()
    data = pd.DataFrame(datas_dict, index=list(xs))
    sns.lineplot(data=data)
    plt.show()

参考：
https://spaces.ac.cn/archives/7076
https://zhuanlan.zhihu.com/p/379317902