不同特征值的特征向量线性无关

证明n阶方针不同特征值的特征向量线性无关

命题

假设$n$阶方阵$A$,有$s$个不同特征值$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3…\lambda_s$,对应于$s$个特征向量$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3…\alpha_s$,试证明这$s$个向量线性无关.

证明

假设$\lambda_1<\lambda_2<\lambda_3…\lambda_s$,若线行无关则必然存在:$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3+...+k_s\alpha_s=0 \tag{1}$
其中$k_1,k_2,k_3…k_s$不全为0.
左乘$A$得:

$$k_1A\alpha_1+k_2A\alpha_2+k_3A\alpha_3+...+k_sA\alpha_s=0 \tag{2}$$

即:

$$k_1\lambda_1\alpha_1+k_2\lambda_2\alpha_2+k_3\lambda_3\alpha_3hexo+...+k_s\lambda_s\alpha_s=0 \tag{3}$$

由(1)得:

$$k_1\alpha_1=-(k_2\alpha_2+k_3\alpha_3+...+k_s\alpha_s)\tag{4}$$

带入(3)中得:

$$k_2\alpha_2(\lambda_2-\lambda_1)+k_3\alpha_3(\lambda_3-\lambda_1)+...+k_s\alpha_s(\lambda_s-\lambda_1)=0 \tag{5}$$

由于:$\lambda_1<\lambda_2<\lambda_3…\lambda_s$
且其中$k_1,k_2,k_3…k_s$不全为0.$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3…\alpha_s$为非0向量,故(5)式不可能成立,由反证法得(1)式也不可能成立.