概率计算问题

若干有趣的有关概率计算的小问题

抛硬币

一枚均匀硬币，平均抛多少次才能连续两次正面向上?

答:设$N_k$表示连续$k$次正面向上的随机变量,则$E(N_k)$表示连续$k$面朝上需要抛硬币次数的均值,则:

$$N_k=N_{k-1}+p+(1-p)[1+N_k]$$

下面解释这个式子.
要想得到$N_k$次正面向上之前必须有$N_{k-1}$次正面向上,因此第一项的$N_{k-1}$就是这个意思,第二项的意思是达到$N_{k-1}$之的下一个伯努利实验如果成功,则实验到此为止。第三项的意思是如果不成功,则一切从头开始.

$$E(N_k)=E(N_{k-1})+p+(1-p)[1+E(N_k)]$$

得:

$$E(N_k) = \frac{E(N_{k-1})+1}{p}$$

得:

$$\begin{align} E(N_K)&=\frac{1}{p^N}+\frac{1}{p^{N-1}}+...+\frac{1}{p} \\ &=\frac{p^N-1 }{p^N(p-1)} \end{align}$$

羊、车、门

有3扇关闭的门，一扇门后面停着汽车，另外两扇门后是山羊，只有主持人知道每扇门后面是什么。参赛者先选择一扇门，在开启它之前，主持人会开启另外一扇门，露出门后的山羊，然后如果你是参赛者，你换不换门?

正常人会认为换不换几率都是1/2,但是真的是这样么?:

1. 这题成功率仅仅取决于第一次是不是选车，如果第一次选车那换门就输了，因此换门输的概率就是第一次选中车的概率，是1/3.
2. 现在把这个问题普遍化，问题就是计算换门和不换门两种情况下成功的概率,假设$N$扇门中有一个车，其他的都是羊
   • 不换门:成功的条件是第一次选择了车 设事件A=第一次选择了车 则$P(A)=\frac{1}{N}$
   • 换门:成功的条件是第一次选择了羊 第二次选择了车 设事件B=第一次选择了羊，事件C=第二次选择了车 $P(C|B)=\frac{N-1}{N} \times \frac{1}{N-2} = \frac{N-1}{N-2} \times \frac{1}{N} > \frac{1}{N}$
     实例代码,更改N可以更改门的数量:

     import time  # 导入时间库
     from random import choice
     
     TIMES = 100000  # 用来标记做了多少次选择
     che = 0  # 用来记录多少次选择了车
     yang = 0  # 用来记录多少次选了羊
     N = 5  # 标记多少个门
     time.clock()  # 开始计时
     # for 循环用于选择并判断多少次选择了车
     for i in range(TIMES):
         l = ['c'] + ['s' + str(i + 1) for i in range(N - 1)]
         # eg: l = ['c', 's1', 's2', 's3', 's4']  # 选择内容，c代表车，sn代表第N只羊
         first = choice(l)  # 随机从中选择一个
         if first == 'c':
             yang = yang + 1  # 当选择车时，主持人亮出一只羊，更改选择后就是选择了羊
         else:
             l.remove(first)  # 扔掉first选的的羊
             sheeps = l.copy()
             sheeps.remove('c')#主持人在剩下的羊中选择一只
             sheep = choice(sheeps)  # 主持人选了这个羊
             l.remove(sheep)
             second = choice(l)
             if second == 'c':#如果第二次选中了车
                 che = che + 1
     
     car = che / TIMES  # 得出选择车的概率
     sheep = yang / TIMES  # 得出选择羊的概率
     print("car =", car)
     print("sheep =", sheep)

圆上任取三点

圆上任取三点组成锐角三角形的概率是多少?此题可以转化为圆上任取三点不在同一半圆内的概率是多少?

假设先任取A和B，他们一定在同一半圆内,假设他们连接O组成的角$AOB$为X(x$\in[0,\pi]$)，则C点必定在OA和OB反向延长线的夹角内才能保证不在同一半圆内,该角度也必定为X,此时概率为:$\frac{x}{2 \pi}$

$$P= \frac{1}{\pi} \times \int_0^{\pi} \frac{x}{2 \pi} dx = \frac{1}{4}$$

生日悖论

至少有多少人才能保证有两人生日相同?
答案是366，一点没错，但是我们改一下题:
一个屋子里有23人，计算有两人生日相同的概率。

$$P = 1- \frac{C_{365}^{23}}{365^{23}}≈1-0.493=0.507$$

也就是说，当有23人的时候，就有50%的概率有两人生日相同,当人70人时，在通过上诉公示可以得到概率达到了99.9%,几乎是100%，也就是说，不需要366人，只需要70人基本上就可以断定至少两人生日相同了.